PERKEMBANGAN ALJABAR

A.    PERKEMBANGAN ALJABAR PADA MATEMATIKA ISLAM

Kontribusi yang paling penting dari para matematikawan islam adalah pada ranah aljabar. Aljabar pada masa sejarah Islam adalah gabungan dari konsep yang dikembangkan oleh matematikawan Babilonia dengan konsep geometri yang dikembangkan oleh matematikawan Yunani. Para pelajar Islam menggunakan bukti geometris untuk memecahkan masalah aljabar matematika. Geometri yang ditemukan dalam teks-teks Yunani bukanlah aljabar, oleh karena itu, para pelajar Islam umumnya membangun pengetahuan mereka sendiri dalam membenarkan atau membuktikan aturan aljabar, baik yang Babilonia kuno maupun yang baru mereka temukan sendiri, dan membuktikan aturan temuan-temuan mereka dengan menggunakan konsep geometri.

1.      Aljabar al-Khwarizmi dan ibn Turk

Salah satu teks aljabar Islam paling awal, ditulis sekitar tahun 825 oleh al-Khwarizmi, berjudul Alkitab al-muhtas.ar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala (Publikasi Buku pada Perhitungan al-Jabr dan al-Muqabala) , sebuah buku yang akhirnya memiliki pengaruh yang lebih dari pekerjaan ilmu hitung nya. Istilah al-jabr dapat diterjemahkan sebagai "memulihkan" dan mengacu pada operasi "mengubah" kuantitas dikurangi di salah satu sisi persamaan ke sisi lain di mana ia menjadi kuantitas menambahkan. Kata al-muqabala dapat diterjemahkan sebagai "membandingkan" dan mengacu pada pengurangan istilah positif dengan mengurangi jumlah yang sama dari kedua sisi persamaan. Dengan demikian, konversi 3 + 2 = 4 - 2 sampai 5 + 2 = 4 adalah contoh dari al-jabr, sedangkan konversi yang terakhir untuk 5 = 2 adalah contoh dari al-muqabala. Kata "aljabar" adalah istilah atau pengucapan yang tidak sempurna dari bahasa Arab, al-jabr. Ketika al-Khawarizmi bekerja dan risalah atau karya tulis lain yang sejenis diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, tidak ada terjemahan yang dibuat dari kata al-jabr, sehingga ilmu ini dinamakan aljabar.

Di dalam bukunya, Al-Khawarizmi tidak menggunakan simbol sama sekali namun menggunakan kata-kata dalam menjelaskan setiap contoh atau permasalahannya. Dia kemudian mencatat bahwa ada enam jenis persamaan yang dapat ditulis:

1. Kuadrat sama dengan akar (ax2 = bx).

2. Kuadrat sama dengan bilangan (ax2 = c).

3. Akar sama dengan bilangan (bx = c).

4. Kuadrat dan akar sama dengan bilangan (ax2 + bx = c).

5. Kuadrat dan bilangan yang sama dengan akar (ax2 + c = bx).

6. Akar dan bilangan sama dengan kuadrat (bx + c = ax2).

Salah satu alasan untuk klasifikasi diatas tidak menggunakan angka negatif sama sekali. Koefisien, serta akar persamaannya, harus positif. Contoh jenis-jenis persamaan diatas adalah persamaan-persamaan dengan hasil solusi selalu positif. (Katz, 2009: 272)

2.      Aljabar Polinomial Al-Karaji, al-Samaw’al

Al-Karaji dan Al-Samawal menunjukan bahwa teknik atau aturan pada ranah aritmetika dapat diaplikasikan pada ranah aljabar, begitu pula aljabar dapat diaplikasikan dalam ranah aritmetika. Dari pendapat tersebut yang dikembangkan pada aljabar menjadi penting dalam masalah yang berhubungan dengan bilangan.

Al-Karaji mengembangkan metode suku banyak dan kebalikan atau lawannya. Setiap pangkat didefinisikan secara rekursif sebagai x kali pangkat sebelumnya. Seperti pada proporsi barisan tak hingga berikut:

Ketika kita sudah memahami pangkatnya, al-Karaji bisa menetapkan prosedur umum untuk menambahkan, mengurangi, dan mengalikan monomials dan polinomial. Dalam konsep pembagian, ia hanya dapat menggunakan monomials sebagai pembagi. Mengapa demikina? Hal tersebut adalah karena Al-Karaji tidak dapat menggabungkan aturan untuk angka negatif ke dalam teorinya dan sebagian semuanya diekspresikan secara verbal. Meskipun demikian, beliau juga  mengembangkan sebuah algoritma untuk menghitung akar kuadrat polinomial yang hanya berlaku dalam keadaan terbatas. (Katz, 2009: 279)

Tidak hanya Al-Karaji, Al-Samawal pun memberikan kontribusinya pada aljabar matematika, yaitu mengenalkan  koefisien negatif melalui bukunya yang berjudul Al-Bahir fi’l-h. isab (The Shining Book of Calculation) ketika Al-Khawarizmi pada pembahasan sebelumnya dikatakan belum menggunakan koefisien negatif tersebut.

Didalam bukunya dijelaskan

                        “Jika kita mengurangi sebuah bilangan positif dari sesuatu yang kosong (nol), maka akan bersisa negatif dari bilangan yang sama.”

Dalam notasi modern dituliskan 0 - a = -a

Kemudian dilanjutkan

                        “... jika kita mengurangi bilangan negatif dari sesuatu yang kosong (nol), maka bersisa bilangan positif yang sama”

Dan dalam notasi modern dituliskan  0 - a =-a.

Selain mengenalkan bilangan koefisien negatif, dikenalkan pula Aturan Tabel Eksponen seperti berikut:

Dari susunan angka dan bilangan diatas, Al-Samawal dapat menggunakannya untuk menjelaskan aturan—aturan eksponen. Didalam Kats (2009: 281) dijelaskan bahwa “Jarak dari urutan perkalian dari dua faktor dari urutan satu dari dua faktor ini sama dengan jarak dari urutan faktor lainnya dari unit. Jika faktor berada di arah yang berbeda maka kita hitung (jarak) dari urutan faktor pertama menuju unit; tetapi, jika mereka berada di arah yang sama, kita hitung jauh dari unit.” Contohnya adalah untuk mengalikan  dengan , hitunglah empat baris ke kiri dari kolom 3 dan kita mendapatkan hasilnya adalah .

Dengan menggunakan aturan tersebut maka Al-Samawal dengan mudah dapat menjelaskan perkalian polinomial maupun pembagian polinomial dengan monomial. Namun yang membedakan dengan Al-Karaji yang hanya dapat melakukan pembagian dengan monomial, Al-Samawal dapat melakukan pembagian polinomial dengan polinomial menggunakan aturan pada gambar diatas tersebut. (Katz: 2009)